La trigonometría es la rama de las ​matemáticas que estudia las ​relaciones entre los ángulos y los ​lados de los triángulos.

Funciones ​trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones matemáticas que ​relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las ​longitudes de sus lados. Estas funciones son fundamentales en ​la geometría, la física y otras disciplinas que estudian el ​movimiento y las ondas.

Ejemplo:

En un triángulo rectángulo, la función seno de un ángulo θ ​se define como:

Si el ángulo θ es de 30 grados, entonces:

¿Cómo funciona?

Definiciones: Existen seis funciones trigonométricas principales que ​relacionan los lados de un triángulo rectángulo:

• Seno (sin): Relaciona el lado opuesto al ángulo con la hipotenusa.
  
• Coseno (cos): Relaciona el lado adyacente al ángulo con la hipotenusa.
  
• Tangente (tan): Relaciona el lado opuesto al ángulo con el adyacente.
  
• Cosecante (csc): Es el inverso del seno.
  
• Secante (sec): Es el inverso del coseno.
  
• Cotangente (cot): Es el inverso de la tangente.
  

Círculo unitario: Las funciones trigonométricas también se definen usando el ​círculo unitario, donde cualquier ángulo se puede representar en un círculo de ​radio 1. Las coordenadas de un punto en el círculo son (cos⁡(θ), sin⁡(θ)), y la ​tangente es la relación entre estas dos coordenadas.

Período y amplitud: Las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, ​sus valores se repiten en intervalos regulares, y tienen una amplitud que ​define la magnitud máxima de la función.

Tipos de figuras:

• Seno y coseno: Funciones periódicas que oscilan entre -1 y 1.
  
• Tangente y cotangente: Relacionan los lados opuesto y ​adyacente y son útiles para calcular pendientes.
  
• Secante y cosecante: Inversas de seno y coseno, utilizadas ​para problemas más complejos en trigonometría.
  

Las funciones trigonométricas son esenciales ​para entender las relaciones entre ángulos y ​lados en geometría, y tienen aplicaciones clave ​en la ciencia y la ingeniería, particularmente en ​el análisis de ondas, movimientos y estructuras ​cíclicas. Su periodicidad y amplitud las hacen ​herramientas poderosas en la resolución de ​problemas relacionados con el comportamiento ​ondulatorio y angular.

Àngulos

Los ángulos son una medida de la rotación o la inclinación ​entre dos líneas o segmentos que se encuentran en un punto, ​llamado vértice. Se expresan generalmente en grados o ​radianes y son fundamentales en geometría, trigonometría y ​muchas áreas de las matemáticas.

Ejemplo:

Un ángulo recto mide exactamente 90 grados (90°) y se ​forma cuando dos líneas son perpendiculares entre sí. Los ​ángulos más comunes incluyen:

• Ángulo agudo: Menor de 90 grados.
  
• Ángulo obtuso: Mayor de 90 grados pero menor de 180.
  

Recto

Agudo

Obtuso

¿Cómo funcionan?

Medida: Los ángulos se miden en grados (°) o radianes (medida en función de ​la circunferencia de un círculo). Un círculo completo tiene 360° o 2π radianes.

Tipos de ángulos:

• Ángulo agudo: Mide menos de 90 grados.
  
• Ángulo recto: Mide 90 grados.
  
• Ángulo obtuso: Mide entre 90 y 180 grados.
  
• Ángulo llano: Mide exactamente 180 grados.
  
• Ángulo completo: Mide 360 grados.
  

Suma de ángulos: En un triángulo, la suma de los ángulos internos siempre es ​180 grados, mientras que en un cuadrado o rectángulo es 360 grados. Esta ​propiedad se utiliza para resolver problemas geométricos.

Tipos de ángulos:

• Ángulos internos: Los que se forman dentro de una figura ​geométrica.
  
• Ángulos externos: Los que se forman afuera de una figura ​geométrica, generalmente adyacentes a los ángulos ​internos.
  
• Ángulos complementarios: Dos ángulos cuya suma es 90 ​grados.
  
• Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuya suma es 180 ​grados.
  

Los ángulos son un concepto básico en ​geometría que describe la inclinación entre dos ​líneas o segmentos. Comprender los diferentes ​tipos de ángulos y sus propiedades es esencial ​para resolver problemas geométricos y aplicar ​estos principios en la vida cotidiana, como en la ​arquitectura, la navegación y el diseño.

Teoremas

Los teoremas en trigonometría son herramientas ​matemáticas fundamentales que establecen relaciones entre ​ángulos y lados en triángulos. Estos teoremas se utilizan en ​una variedad de campos, como la física, la ingeniería, la ​arquitectura y la astronomía, para resolver problemas ​relacionados con distancias, alturas y direcciones.

Ejemplo:

El Teorema del Seno es uno de los teoremas más conocidos ​en trigonometría. Establece que en cualquier triángulo (no ​necesariamente rectángulo), la razón entre la longitud de ​un lado y el seno del ángulo opuesto es la misma para los ​tres lados. Se expresa así:

donde a, b y c son los lados del triángulo, y A, B, C son los ​ángulos opuestos a esos lados.

¿Cómo funciona?

• Teorema del Seno: Relaciona los lados de un triángulo con los senos de ​sus ángulos opuestos. Es útil para resolver triángulos oblicuos (triángulos ​sin ángulo recto) cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y ​un ángulo opuesto.
  

• Teorema del Coseno: Generaliza el Teorema de Pitágoras para triángulos ​no rectángulos. Dice que:
  

Este teorema es útil para calcular un lado de un triángulo cuando se ​conocen los otros dos lados y el ángulo entre ellos.

Teorema de Pitágoras: Aunque es principalmente geométrico, este teorema ​es esencial en trigonometría para trabajar con triángulos rectángulos. Dice ​que en un triángulo rectángulo:

donde c es la hipotenusa (el lado más largo) y a y b son los catetos.

Tipos de teoremas:

• Teorema del Seno: Aplica a cualquier triángulo.
  
• Teorema del Coseno: Útil en triángulos no rectángulos para ​encontrar un lado o un ángulo.
  
• Teorema de Pitágoras: Específico para triángulos ​rectángulos.
  
• Identidades trigonométricas: Relaciones fundamentales ​entre las funciones trigonométricas, como sin²(θ) + cos² (θ) = 1.
  

Los teoremas en trigonometría proporcionan ​herramientas poderosas para relacionar ángulos ​y lados en triángulos. Son fundamentales para ​resolver problemas geométricos y tienen ​aplicaciones en campos como la ingeniería, la ​astronomía y la física. Los teoremas del Seno y ​del Coseno, junto con el Teorema de Pitágoras, ​son esenciales para comprender y aplicar la ​trigonometría en la vida real.

La trigonometría es una rama de las ​matemáticas que estudia las relaciones ​entre los ángulos y los lados de los ​triángulos, utilizando funciones como el seno, ​coseno y tangente.